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AMI6-12岁主教详解蒙特梭利小学数学

数学工作一直是蒙特梭利教育中具有独特魅力的一个部分。对于进入蒙特梭利小学混龄教育环境的6-12岁儿童而言,数学不仅是一门严谨而又严肃的科目,更是蕴含着无限趣味的学习工作。

本期文章来自中关村外国语学校蒙特梭利小学实验班教师、6-12岁AMI主教认证教师傅烨,她通过精彩的讲述,和来自教学一线的真实图片和生动视频,带您领略蒙特梭利小学数学——这门立体的数学课的魅力。不同于传统小学的学习方式,蒙特梭利小学的数学教育理念和操作方式会让孩子对数学学习有了全新的认识和终身的兴趣。

图片来源:中关村外国语学校蒙特梭利小学实验班

文字整理:Lillian



01

认识小学阶段孩子的特征阶段


6-12岁的孩子最显而易见的特征是身体机能得到了明显的改善。他们变得越来越强壮,生病的情况减少了,有足够的心力去面对日益繁重的学习挑战。


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身体获得自由之后,这一阶段孩子的社交性也明显增强,特别喜欢小组工作。人类本来就有交流的意愿, 6岁的孩子词汇丰富且口齿清晰,正急不可待地想要和更多人发生连接。对此,我们会给他们提供更多小组工作的机会。


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如上图,除法工作就是一项非常适合合作的教具。在小团体工作中,我们引导孩子做好分工,让不同年龄和能力的孩子能有机会一起工作。学会合作后,孩子们还会通过团体的力量迎接更难的挑战。他们真的非常喜欢挑战和做很大的工作。在教室里,我们会准备长长的纸轴,孩子们可以在纸轴上进行很多和数学有关的大工作。


(这张写满了7的倍数的纸卷,迎来了同学的围观惊叹。)


此外,他们吸收性心智在慢慢消退,推理性心智开始发生作用。他们不仅仅好奇陌生事物的名称,还会刨根问底式地提问和思考,这也是为什么蒙特梭利小学课程被设计成各个学科串联的宇宙教育。孩子在0~6岁借助吸收性心智记住的大量信息,终于可以在6-12岁通过推理能力和想象力,进行信息的处理和整合。所以,小学孩子会非常乐于把大量时间花费在理解和串联信息上。在数学的工作中,我们给孩子很多观察和描绘的时间。比如孩子们可以自编应用题,一方面可以联系生活来增添趣味,另一方面还可以降低难度。比如孩子用全等相似的几何图形来做设计,在大量的观察和描摹之后,才有可能深入地发现、理解数量与图形之间的关系。

大型的合作性工作也给孩子们提供了深入讨论和感受的机会。


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(孩子们正在自行讨论、设计和制作墙面的身高尺。)


小学孩子的道德感不断发展,非常在乎正义、公平及规则,也很愿意承担责任。这个阶段的孩子开始意识到社会角色,会有强烈的英雄崇拜。作为身边的成人,我们除了要自身做好榜样之外,还可以把更多的榜样介绍给孩子。

例如在数学中,我们会把历史带到孩子身边。历史上数字是怎么产生的?有许多没有留下名字的人,如何为我们现在方便地使用数字做出了巨大的贡献?这些神秘遥远的故事令孩子们十分着迷。


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(数字历史中的古罗马数字研究)


这个阶段的孩子倾向向外发展,他们与自己的家庭渐行渐远,期盼着自由的探索世界。当疫情缓解时,孩子们迫不及待进行了一次关于烘焙采购的外出,他们在教室里自己学习查阅价格,计算采购预算。到了商场,他们自己根据预算比对价格来选购产品。


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到这里,我们已经对小学阶段孩子的主要特点有所了解,我们将进入到第二个部分——蒙特梭利小学的数学课程。


02

宇宙教育体系下的数学课程



五大主轴故事与混龄教室优势


在蒙特梭利教室里,我们希望孩子们获得的不仅仅是对知识的记忆,更重要的是能够对世界有深入、独立的概念化的理解和观察。

蒙特梭利小学的宇宙教育把各学科交织成了一个网络,数学学科就在其中立体地展开。数学工作的设计首先从小学生的特征和需求出发,不同阶段的孩子进行不同阶段的工作,教科书不是唯一的发展进度指标。

适应了孩子需求的数学课程,又在宇宙教育万事万物之间无不相互关联的基本思路下,和其他各个科目紧密关联。

在蒙特梭利小学的教室里,我们会讲述5个伟大的故事(“五大主轴故事”),带领孩子们进入语言、数学、地理、历史、生物五大学科。通过这些故事自然地将整个宇宙教育体系,编织成一个巨大的图景描绘给孩子。

故事之后的知识点的学习,各个学科还会继续连接。比如低年级的孩子学习测量时,不单可以测量常见物体的长度,还可以在生物学习中测量动物的身长;在历史工作中,孩子还可以通过测量了解日晷的工作原理;在地理工作中,孩子能通过测量体会地球自转带来的光线变化;而在收集到足够多的日影纪录后,我们还能回到数学进行统计的工作。


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(孩子们观察日晷的工作原理)


在数学学习中,各种各样将数学问题形象化、立体化的教具也给孩子们留下了深刻的感官印象,为最终的抽象理解铺垫扎实的基础。同时,蒙小数学课程内部各个知识点是相互预备、互为后续的,孩子们常常需要在学习新知识点时,回溯已经学过的知识。因为常能感受到从已知的知识中发掘出新知识的兴奋感,“每一个前置工作都十分重要”的这个意识也在回溯的过程中潜移默化地进入孩子的认知。混龄教室小团体工作的优势也在这里体现,孩子们总能在教室里看见与自己不同进度的孩子的工作。为了保持教室工作的多样性,老师会尽量给不同孩子不同的工作示范,同一种目的的工作,也可能由不同的孩子以不同的形式来进行。这种环境提供的复习或预热,让孩子始终与大多数的知识保持着连接。


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蒙氏教具与学科知识的相互连接


蒙特梭利小学的数学学科大纲,分为数学和几何两大块。



如上图,通过数字的发展历史打开数学大门之后,我们会根据孩子的能力,进入中间知识点的示范。我们的数学从十进制开始进入运算学习,通过教具帮助孩子进一步掌握进位加法和退位减法,接着会涉及到乘法、除法、平方、立方数等等,也都有对应的教具。



如上图,我们同样通过一个故事引入几何学科。在几何中,学习全等与相似多边形、角、线、立体几何等内容。



可以发现,蒙特梭利小学的数学学科内容,其实包括了体制内大纲中所有的内容,甚至还包含了像平方根、立方根、指数、勾股定理等到了中学才会学习的部分。



03

蒙特梭利小学里别样的数学学习



蒙特梭利小学的数学和传统的数学教学可以有很大的不同。在蒙特梭利小学,老师不会直接把公式告诉孩子,而是根据孩子的接收能力,将一个个知识点转入具体教具,通过示范给孩子具体使用办法,由教具帮孩子达到从具体到抽象的转化,并把这些内容深深地印刻在他们的脑海中。

蒙特梭利的数学教育是非常有创造力的。一个完整的数学理论从具体到抽象通常会经历感官认识、重复操作、归纳理解、代数表达这几个步骤,最终到达公式推导。

以下列举几个工作,向大家展示在蒙特梭利教室里怎样进行数学教学。



十进制


认识十进制是孩子们进入小学最先需要学习的内容。看起来简单得理所当然,却是令很多孩子头疼的问题。因为没有真正理解数理的关系,孩子可能在以后所有涉及到运算的工作中,伪装成粗心、忘记进位、对错数位、题目太复杂等等原因,频频给数学学习造成困扰。


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上面这张图我在很多场合都看过,甚至在疫情期间,在我自己的网课PPT上都出现过这样的画面。这是目前给低年级孩子解释十进制和千以内的数位的常用图示。我们可能觉得,这个图片确实是一目了然,孩子一看就懂。事实上,孩子们确实是一看就懂,但转天再去问他,就有可能什么都不知道了。因为孩子们只是接受、甚至听说了“个、十、百、千”这些概念,信息是来自于老师的,发自自身的体会却非常模糊。

而在蒙特梭利小学的教室中,有百万箱和算珠大粒架两大工具来帮助孩子理解十进制。


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上图的百万箱能让孩子们对照认识从1~100万的数和量,通过教具的对比,不仅能清晰地看到十进制之间的关系,10个10就是1个百,10个10万就是1个百万,还会通过游戏的方式,反复体会不同数位、数量的大小差别和变化。


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(一位小朋友和教具的对比)


经过了图片的大小对比,我们再来想象一下孩子们抱着硕大的10万平方片在教室到处找可以藏匿它的地方的场景。孩子对于数位的概念会不会感受更深刻一些呢?

还请大家留意一下教具的颜色,我们共使用了绿、蓝、红三种颜色来代表个、十、百这三个数位,以及以此类推的更高数位。这些颜色的密码就是孩子们在教师中很快会熟悉的数位密码,在很多数学教具中会重复出现形成强调提示。



乘法运算


在传统小学数学课程中,二年级的孩子需要开始学习乘法,并且要背诵九九乘法表。而蒙特梭利的工作设计是把困难分解,把任务分散到一个更长的学习历程中,以避免单纯的集中性的记忆任务所带来的压力。


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孩子们早在儿童之家就会接触到乘法的概念,小学时会认识多种形式的乘法工作,在孩子们重复、不断拿取同一个数量的过程中,他们会更加理解乘法的意义,并在点数的过程中不知不觉记下了乘法口诀。



乘法工作中的其中一项就是使用棋盘板进行长乘法,也就是乘数是二位数以及以上数量的乘法。在棋盘板上,可以看到蓝、绿、红这三个颜色盘按序排列,它们也是多位数运算的引导。

这个工作,其实只要孩子能够数数,能够认准数位,再大的乘法工作都是可以完成的。这样孩子的成就感是不是很高呢?在孩子使用棋盘板,熟悉了长乘法的运算之外,我们还会以其他形式介绍乘法。


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例如,蒙特梭利儿童之家里的孩子所熟悉的算珠大粒架,也是用来进行长乘法操作的教具之一。又如,上图的平算珠架,是长乘法的进阶教具。在教具边上的计算中,我们记录了分步骤的乘积。这个教具会引导孩子实现从借助教具运算,到纸面进行长乘法运算的转化。


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上图是乘法的几何形状,同另一个位数乘法的工作一起,会为将来孩子的平方根的工作做预备。



小数的运算

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进入小数运算时,孩子们已经有过许多分数工作的相关经验。蒙特梭利小学老师会从分数出发,介绍小数的对应数量和组成部分。把一平均分成十份是1/10,在小数中就是0.1;平均分成一百份是1/100,在小数中就是0.01等等。



如上图,老师们把帮助小数运算的小立方块介绍给孩子,孩子们把小立方块和它们所对应的数量先连接起来。


在小学阶段,小数运算的难点通常在于孩子对错了小数点的位置。上面的视频中,我们看到小数板的设计在教具操作的层面,引导孩子习惯要对齐数位。并且让孩子清楚小数运算其实也符合十进制整数运算的规则,即相同的数位直接进行加减,同数位中超过10时会带来进位。


平方根


平方根工作是蒙氏数学工作中,既让人醍醐灌顶,又勉强能够通过视频清楚地表达出其基本逻辑的意向工作。带领孩子进入平方根计算之前,蒙小老师会先跟孩子介绍平方根的概念及平方根写法的由来。下面的视频选取了平方根概念介绍的中的第三个步骤,和大家分享如何通过教具找到一个较小数量的平方根的过程。


通常在这项工作后,老师会请孩子自己去找到更多较小的数去求取平方根。在这个过程中,孩子们很快会知道在一个平方图形中什么地方可以找到它的平方根,不久之后他们就会想要知道更大数字的平方根要怎么样去找到,比如3位数、4位数,或者再大一些的平数的平方根。


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上图的这位小朋友,他正使用金色串珠教具来寻找一个数字可以搭建的最大平方,从而找到这个数字的平方根。下面这段视频则则正式介绍了开平方最常用的蒙氏教具——钉桩板。


事实上,平方根的工作从介绍概念到抽象的计算,还有非常多细致的步骤和前期预备,无法在此一一具足。


测量面积


进入面积学习之前,蒙特梭利小学孩子要在低年级完成一系列的准备。比如说通过金属嵌板,来熟悉全等、相似、等值等概念。又比如,通过几何棒的工具,去学习角、多边形,以及多边形的底边、高等部位的名称。同时,还要配合测量的经验了解测量的基础是测量单位。有了这些基础后,蒙特梭利小学的孩子才会进入面积的学习。


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(面积学习前的其他几何工作)



在开始面积测量这项工作之前,老师会跟孩子一起回忆,以往做测量工作时孩子们如何自己选择测量单位,同时老师也要把等值的概念再次提出,让孩子们想到将要使用的教具都是等值的。

孩子们注意到要使用测量单位来测量一个面积。比如说刚才测量的长方形面积就是50个单位正方形。这时,我们还没有引入介绍“平方米、平方厘米”等面积单位。在此之后,老师要请孩子用方格纸画一些矩形。孩子可以画各种各样的矩形,有的会很大,有的会很小,希望让孩子有非常多的“数”的经验。直到有一天,当孩子开始觉得数方格实在太无聊的时候,他也许会开始想办法找到比点数更简便的计算方式,也许孩子会想到在长方形的两个相交边上能够找到简便方法。

同时,老师还会继续使用前面用到的黄色教具。这些教具中还会有其他的形状,帮助孩子去探索更多的面积的计算。孩子们通过把平行四边形、三角形的高或者底边平分切割,进行探索,最终在进入公式推导之前,他们便会发现只要看看底边上有多少个正方形,高上又有多少个正方形,将它们相乘就会得出面积。


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(面积学习的预备工作)


当我们发现,孩子们可能已经准备好,有了足够的感官经验时,老师就可以把面积公式的推导工作交给他们。


面积公式的推导过程有没有短到,让你觉得就像是念了一遍公式?但事实上,这个结果是孩子们自己在操作中总结归纳出来的,将来他们还会去推导更多平面图形的面积,甚至立体图形的体积。重点在于我们有没有给到孩子足够的机会去探索,有没有在工作中给到孩子必要的引导。

这些只是蒙特梭利小学数学工作中的一小部分,期待有更多孩子来到蒙特梭利小学的教室,亲身感受蒙特梭利教育环境下,数学学习的独特魅力。蒙特梭利小学实验班的试读课程持续进行中,欢迎联系中关村外国语学校招生老师了解更多详情。


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